Numpy で dot() 関数を使うと配列同士の「ドット積（内積）」を計算できる．詳しくはドキュメントに載っているけど，dot() 関数は引数 a と b に指定する値（1次元配列／2次元配列）によって挙動が異なる．個人的にわかりにくかったため，具体的に実装しながら整理することにした．またドキュメントには dot() 関数以外を使うべきシナリオもあり代替案も載っている．

1. ドット積（内積）🔡

まず，a と b のどちらにも「1次元配列（ベクトル）」を指定すると，ベクトルの「ドット積（内積）」を計算できる．ドキュメントには以下のように載っている．

If both a and b are 1-D arrays, it is inner product of vectors (without complex conjugation).

なお，そもそも「ドット積（内積）」とはザッと表現するなら以下のような計算式になり，各ベクトルの要素を掛け算した総和となる．詳しくは Cognicull などの参考サイトを見てもらえればと！

内積（ドット積）とは - Cognicull

$\sum\limits_{i=1}^n a_i b_i \$

さっそく dot() 関数を試す．以下のように「1次元配列」と「1次元配列」を指定すると，期待通りに「ドット積（内積）」を計算できる．それぞれ (1x3) + (2x4) = 11 と (1x4) + (2x5) + (3x6) = 32 となる．

a = np.array([1, 2])
b = np.array([3, 4])
np.dot(a, b)
# 11

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
np.dot(a, b)
# 32

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なお，以下のように要素数（ベクトルの次元数）が異なるとエラーになる．

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6, 7])
np.dot(a, b)
# ValueError: shapes (3,) and (4,) not aligned: 3 (dim 0) != 4 (dim 0)

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2. 行列積 🔡

次に a と b のどちらにも「2次元配列（行列）」を指定すると「ドット積（内積）」ではなく「行列積」を計算できる．ドキュメントには以下のように載っている．そして「行列積」を計算するなら dot() 関数よりも matmul() 関数や Numpy の @ 演算子を使うべし！とも載っている．

numpy.matmul — NumPy v1.20 Manual

If both a and b are 2-D arrays, it is matrix multiplication, but using matmul or a @ b is preferred.

「行列積」とはザッと表現するなら以下のような計算式になり，行列同士を掛け算した結果となる．詳しくは Cognicull などの参考サイトに載っている「行列積」の図解を見てもらえればと！

行列とは - Cognicull

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{pmatrix}$

さっそく dot() 関数と matmul() 関数と @ 演算子を試す．以下のように「2次元配列」と「2次元配列」を指定すると，期待通りに「行列積」を計算できる．以下には (2, 2) x (2, 2) と (3, 3) x (3, 3) の例を載せた．また列数（横）と行数（縦）が一致していれば「行列積」を計算できるため (3, 2) x (2, 2) の例も載せた．そして mutmul() 関数や @ 演算子を使っても同じ結果になっている．

a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
b = np.array([[5, 6], [7, 8]])
np.dot(a, b)
# array([[19, 22],
#        [43, 50]])

np.matmul(a, b)
# array([[19, 22],
#        [43, 50]])

a@b
# array([[19, 22],
#        [43, 50]])

a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
b = np.array([[10, 11, 12], [13, 14, 15], [16, 17, 18]])
np.dot(a, b)
# array([[ 84,  90,  96],
#        [201, 216, 231],
#        [318, 342, 366]])

np.matmul(a, b)
# array([[ 84,  90,  96],
#        [201, 216, 231],
#        [318, 342, 366]])

a@b
# array([[ 84,  90,  96],
#        [201, 216, 231],
#        [318, 342, 366]])

a = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
b = np.array([[7, 8], [9, 10]])
np.dot(a, b)
# array([[ 25,  28],
#        [ 57,  64],
#        [ 89, 100]])

np.matmul(a, b)
# array([[ 25,  28],
#        [ 57,  64],
#        [ 89, 100]])

a@b
# array([[ 25,  28],
#        [ 57,  64],
#        [ 89, 100]])

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なお，以下の (2, 3) x (2, 2) のように，列数（横）と行数（縦）が一致していない場合はエラーになる．

a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
b = np.array([[7, 8], [9, 10]])
np.dot(a, b)
# ValueError: shapes (2,3) and (2,2) not aligned: 3 (dim 1) != 2 (dim 0)

np.matmul(a, b)
# ValueError: matmul: Input operand 1 has a mismatch in its core dimension 0, with gufunc signature (n?,k),(k,m?)->(n?,m?) (size 2 is different from 3)

a@b
# ValueError: matmul: Input operand 1 has a mismatch in its core dimension 0, with gufunc signature (n?,k),(k,m?)->(n?,m?) (size 2 is different from 3)

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まとめ 🔡

Numpy の dot() 関数の挙動を整理するために試した．引数 a と b に指定する値（1次元配列／2次元配列）によって「ドット積（内積）」や「行列積」の計算になることを確認できた（正確には他の計算パターンもある）．またドキュメントには dot() 関数以外を使うべきシナリオもあり代替案も載っているため，特に「行列積」の場合は matmul() 関数や Numpy の @ 演算子を使うことを覚えておこう！

numpy.org

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